Factorización I: Introducción

Ya hablamos de la importancia que tiene la factorización en criptografía en "Rompiendo claves RSA". En esta serie de artículos se hará un repaso a los algoritmos usados para factorizar números grandes, empezando por los algoritmos más básicos hasta llegar a los más actuales y modernos sistemas, que permiten factorizar números de más de 150 dígitos decimales.

Como veremos, existen decenas de algoritmos de factorización, pero los más destacados por su mayor velocidad (o menor complejidad) son:

- Quadratic Sive (QS): El algoritmo más rápido para factorizar números grandes de propósito general menores de 110 dígitos decimales (aproximadamente).

- Number Field Sieve (NFS): El algoritmo más rápido para factorizar números grandes de propósito general mayores de 110 dígitos decimales (aproximadamente).

- Elliptic Curve Method (ECM): El algoritmo más rápido para factorizar números grandes cuando uno de los factores es relativamente pequeño.


Estos tres algoritmos tienen un complejidad subexponencial que es lo más rápido que se ha conseguido llegar en el campo de la factorización. Si se encontrase un algoritmo de complejidad polinómica, podríamos decir que el problema de la factorización queda resuelto y dejaría de poder utilizarse en criptografía. Esto significaría, entre otras cosas, el fin de algoritmos como RSA.

Los algoritmos QS i NFS se basan en una vieja estratégia atribuída al genial matemático Pierre de Fermat. La vemos a continuación:
Supongamos que disponemos de un número n del cual queremos obtener su representación como multiplicación de dos factores, es decir n=pq. Ecuación que también podríamos representar como n=(x+y)(x-y).

Si encontramos dos números enteros positivos que cumlan la ecuación de manera que x-y sea mayor que 1, diremos que hemos encontrado un factor no trivial de n, quedando el problema resuelto. Pero para buscar a y b cambiaremos el enfoque del problema.

Sabemos que (x+y)(x-y)=x²-y² , lo que nos permite un cambio de estrategia importante, pues ya no tenemos que buscar directamente factores de n, sino parejas de cuadrados cuya diferencia sea n.
Veamos un ejemplo para n=989. Si realizamos una búsqueda de cuadrados empezando por la raiz entera de 989, es decir 31, tenemos que 32²-989=35 no es cuadrado, continuamos, 33³-989=100 y bingo! Pues vemos que 33²-10²=989. Partiendo de la fórmula anterior tenemos que el factor p corresponde a p=33-10=23 y el factor q corresponde a q=33+10=43. Quedando n factorizado como 989=23*43.

El método utilizado puede parecer muy rápido, pues hemos factorizado el 989 en solo dos operaciones. Si nos hubiesemos dedicado a probar con todos los números primos menores que 31 habríamos necesitado 9 operaciones! (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23). Pero lo cierto es que cuando tratamos de factorizar números más grandes vemos que el enfoque no es el adecuado, pues resulta extremadamente lento.

Lo que debemos tener en cuenta de la idea de Fermat es que proporciona una estrategia diferente para atacar el problema, de manera que pasamos de buscar factores de n a buscar diferencias de cuadrados. Como veremos en próximos artículos, esta estratégia se usa con éxito en los algoritmos QS y NFS.